Actividad 7 : Laboratorio Automatización

Ejercicio:
Este problema lo elegí de un libro que llevo una compañera de clase el cual se llama Sistemas de Control Moderno.

Determínise la función de Transferencia $\mathbf{X_{1}(s)/U(s)}$ y $\mathbf{X_{1}(s)/F(s)}$ para el sistema acomplado resorte-masa:

Este problema ya habia hecho uno parecido en el cual me base en unos videos, por ese motivo lo escogí para que no se me complicara mucho :P.

$Funcion de Transferencia=\mathbf{G\left ( s \right )}=\frac{L[salida]}{L [entrada]}|\textrm{condiciones iniciales cero}$

• $\mathbf{k_{1}}$,$\mathbf{k_{2}}$: constante elástica
• $\mathbf{b}$:constante de biscuocidad.
• $\mathbf{V_{1}}$,$\mathbf{V_{2}}$:Velocidad.
• derivada del desplazamiento es $\mathbf{\frac{dy}{dt} }$ y se utilizara de la siguiente manera $\mathbf{\dot{y}}$

Como sabemos la Ley fundamental que controla los sistemas mecaánicos es la Segunda Ley de Newton

$\mathbf{\sum F_{externas}=ma}$

Ahora tomando lo anterior y utilizando la Segunda Ley de Newton pasaremos a  la solución del problema:


Solución:

Primero que nada vamos a sacar las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, que en este caso tenemos dos.

$\mathbf{M_{1}}$:  

$\mathbf{M_{2}}$:  

Ya que terminamos de sacar las fuerzas que actúan obre cada cuerpo aplicamos la segunda Ley de Newton a cada uno de ellos:


Tomamos el sentido de la fuerza u como el sentido positivo (derecha=sentido positivo), lo que quiere decir que las fuerzas que actúen de lado izquierdo seran negativas:

$\mathbf{\sum F_{externas}=ma}$

Tomando en cuenta que:

$\mathbf{a=\frac{d^{2x}}{dt^{2}}=\ddot{x}}$


masa 1:      $\mathbf{F-k_{1}x_{1}-k_{2}\left ( x_{1}-x_{2} \right )=m_{1}\ddot{x}_{1}}$

masa 2:      $\mathbf{-b_{1}\dot{x}_{2}-k_{2}\left ( x_{1}-x_{2} \right )=m_{2}\ddot{x}_{2}}$

=

  $\mathbf{M_{1}\ddot{x}_{1}+k_{1}X_{1}+k_{2}x_{1}= u+k_{2}X_{2}}$

 $\mathbf{M_{2}\ddot{x}_{2}+b_{1}\dot{x}_{2}+k_{2}X_{2}=k_{2}X_{1}}$

Suponiendo que las condiciones iniciales son cero, pasamos las ecuaciones anteriores al dominio de Laplace



$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)= F(s)+k_{2}X_{2}(s)}$                 (1)

$\mathbf{[M_{2}s^{2}+b_{2}s+k_{2}]X_{2}(s)=k_{2}X_{1}(s)}$                          (2)

Ahora obtendremos las funciones de transferencias $\mathbf{X_{1}(s)/U(s)}$ 

$\mathbf{[M_{2}s^{2}++b_{1}s+k_{2}]X_{2}(s)=k_{2}X_{1}(s)}$

$\mathbf{X_{2}(s)=\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}}$


Sustituimos en la primer ecuación:
$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)= F(s)+k_{2}X_{2}(s)}$

$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)= F(s)+k_{2}[\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}]}$


$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)-k_{2}-\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}= F(s)}$

$\mathbf{X_{1}(s)[(M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2})-k_{2}[\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}]]= F(s)}$

$\mathbf{X_{1}(s)[\frac{(M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2})(M_{2}s^{2}+k_{2})-k_{2}^{2}}{M_{2}s^{2}+k_{2}}]= F(s)}$


Así ya encontramos la función de transferencia $\mathbf{X_{1}(s)/F(s)}$:


$\mathbf{ \frac{X_{1}(s)}{F(s)}=\frac{M_{2}s^{2}+k_{2}}{(M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2})(M_{2}s^{2}+k_{2})-k_{2}^{2}} }$