Actividad 4: Laboratorio de Automatización


En esta ocasión seleccione el problema 3 del capítulo 5 el cual trata de lo siguiente:

Considere el sistema en lazo cerrado dado por:


$\mathbf{\frac{C\left ( s \right )}{R\left ( s \right )}=\frac{w^{2}_{n}}{s^{2}+2\zeta w_{n}s+w^{2}_{n}}}$

Determine los valores de $\mathbf{\zeta }$ y $\mathbf{w_{n}}$ para que el sistema responda a una entrada escalon con una sobreelongación de aproximadamente el 5% y con un tiempo de asentamiento de 2 seg  (Utilize el criterio del 2%).

Para comenzar tenemos que observar que la soobrelongacion $\mathbf{M_{p}}$  es:

$\mathbf{M_{p}=e^{-\zeta \pi /\sqrt{ 1-\zeta ^{2}}}}$

Se especifica como el 5%. Por tanto:

$\mathbf{e^{-\zeta \pi /\sqrt{ 1-\zeta ^{2}}}=0.05}$

Sacamos el valor de: $\mathbf{-\zeta \pi /\sqrt{ 1-\zeta ^{2}}}$

$\mathbf{-\zeta \pi /\sqrt{ 1-\zeta ^{2}}=x}$

$\mathbf{e^{x}=0.05}$

Para poder despejar tenemos que usar Ln: $\mathbf{Ln(e^{x})=Ln(0.05)}$

$\mathbf{x=Ln(0.05)}$

$\mathbf{Ln(0.05)=−2.995732274}$

Entonces obtenemos que:

$\mathbf{x=−2.995732274}$


$\mathbf{-\zeta \pi /\sqrt{ 1-\zeta ^{2}}=−2.995732274}$

Aplicamos una multiplicación negativa:

$\left (\mathbf{-\zeta \pi /\sqrt{ 1-\zeta ^{2}}=−2.995732274}  \right )-1$

$\mathbf{\zeta \pi /\sqrt{ 1-\zeta ^{2}}=2.995732274} $

Ahora que ya tenemos ese valor podemos despejar y  obtener el valor de  $\mathbf{\zeta }$ que es la que nos piden en este problema:

Dato: $\mathbf{\pi = 3.14}$:
$\mathbf{\frac{\zeta \pi }{\sqrt{1-\zeta^{2} }}=2.995732274 }$

$\mathbf{\zeta \pi =2.995732274\left ( \sqrt{1-\zeta^{2}} \right ) }$

$\mathbf{\left (\zeta \pi =2.995732274\left ( \sqrt{1-\zeta^{2}} \right )  \right )^{2} }$

$\mathbf{\zeta^{2} \pi^{2} =8.974411857 ( 1-\zeta^{2})}$

Sustituimos valor de  $\mathbf{\pi = 3.14}$

$\mathbf{\zeta^{2}(3.14^{2}) =8.974411857 ( 1-\zeta^{2})}$

$\mathbf{9.8596\zeta^{2} =8.974411857 ( 1-\zeta^{2})}$

Continuamos con el despeje:

$\mathbf{9.8596\zeta^{2} =8.974411857-8.974411857\zeta^{2}}$

$\mathbf{9.8596\zeta^{2}+ 8.974411857\zeta^{2}=8.974411857}$

$\mathbf{18.834011857\zeta^{2}=8.974411857}$

$\mathbf{\zeta^{2}=\frac{8.974411857}{18.834011857}}$

$\mathbf{\zeta^{2}=0.476500276}$

$\mathbf{\zeta=\sqrt{0.476500276}}$

y el resultado es: $\mathbf{\zeta=0.690289994}$

Después se obtiene el valor de $\mathbf{w_{d}}$ basandonos en lo  siguientes:

$\mathbf{t_{p}= \frac{\pi }{w_{d}}}$

$\mathbf{t_{p}= \frac{\pi }{w_{d}}=2}$

$\boldsymbol{\pi=2w_{d}}$

$\boldsymbol{3.14=2w_{d}}$

$\boldsymbol{3.14/2=w_{d}}$

$\boldsymbol{w_{d}=1.57}$

Ahora obtenemos el valor de lo otro que nos pide el problema que es $\mathbf{w_{n}}$:

$\boldsymbol{w_{n}=\frac{_{w_{d}}}{\sqrt{1-\zeta ^{2}}}}$

$w_{n}=\frac{1.57}{\sqrt{1-0.690289994 ^{2}}}$

$w_{n}=\frac{1.57}{\sqrt{0.523499724}}$

$w_{n}=\frac{1.57}{0.723532808}$

$\boldsymbol{w_{n}=2.169908514}$

Bibliografía:
Libro