Transformada inversa de Laplace
Problema B.2.15
Obtenga el desarrollo en fracciones simples de la siguiente función utilizando MATLAB.
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}$
En mi caso yo no utilizare MATLAB sino el programa Octave ya que es con uno de los que estamos trabajando.
Utilizaremos la siguiente función:
$\left [ r,p,k,e \right ]= residue\left ( num,den \right )$
La cual nos sirve para poder calcular la descomposición de factores simples del cociente del polinomion num(numerador) entre el den(denominador):
r = Son los residuos (numeradores)
p = Son los polos (denominadores)
k = Es el cociente
e = Son los exponentes para cada denominador
Lo que quiere decir:
$ \frac{num\left ( s \right )}{den\left ( s \right )}= k\left ( s \right )+{\frac{r\left ( 1 \right )}{\left ( s-p\left ( 1 \right ) \right )^{e\left ( 1 \right )}}}+{\frac{r\left ( 2 \right )}{\left ( s-p\left ( 2 \right ) \right )^{e\left ( 2 \right )}}}$
Ahora vamonos a octave en nuestra términal, para entrar tecleamos lo siguiente:
Ya que estamos dentro de Octave capturamos dos vectores con los coeficientes del numerados y denominador en mi caso yo le llame num(numerados) y den(denominador):
Para poder hacer esto nosotros tenemos que tener la función expresada en un solo polinomio no en varios, pero para no hacerlo tan dificil y tener que estando multiplicando mucho lo que aremos sera usar otra función de octave que realiza esto por nosotros:
$conv\left ( p,s \right )$
Lo malo es que solo puede realizarse sobre dos polinomios entonces ajustaremos nuestra función dada para que solo sean dos en el caso del numerador y el denominador:
Recuerden que la función es:
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}$
Convertir numerador y denominador, los pasos son los siguientes
Paso 1:
En la parte del numerador juntamos el diez con alguno de los dos binomios para solo tener dos, yo lo hice con el primero binomio $\left ( s+2 \right )$.
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}=F\left ( s \right )= \frac{\left ( 10s+20 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}$
Paso 2:
Ahora con el denominador, multiplicamos los binomios $\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )$ y realizamos el binomio cuadrado perfecto $\left ( s+5 \right )^{2}$:
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}=F\left ( s \right )= \frac{\left ( 10s+20 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s^{2}+4s+3 \right )\left ( s{^{2}+10s+25} \right )}$
Términando lo anterior pondremos los vectores en la términal, recuerden que solo se ponen los constantes:
Utilizamos la función residue para sacar lo que se nos pidio:
Nos arrojara lo siguiente en la términal:
Como vimos es muy fácil obtener el desarrollo de fracciones simples con octave y lo obtenido fue:
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}={\frac{.9375}{\left ( s+1 \right )}}+{\frac{1.25}{\left ( s+3 \right )}}+\frac{3.75}{\left ( s+5 \right )^{2}}+{\frac{-2.1875}{\left ( s+5 \right )}}$
Después obtenga la transformada inversa de Laplace de $F\left ( s \right )$
Para poder obtener la transformada podemos usar lo que obtuvimos en lo anterior de fracciones simples con octave, primero lo aremos de esta manera y después de la manera larga en donde nosotros tenemos que obtenerlo por fracciones parciales:
Para calcular la transformada inversa necesitaremos la tabla de parejas de transformadas de laplace que viene en el libro que estamos utilizando: Link (Libro 4ta edición-no vienen algunas páginas):
)
Tranformada inversa con los datos que nos arrojo octave
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}={\frac{.9375}{\left ( s+1 \right )}}+{\frac{1.25}{\left ( s+3 \right )}}+\frac{3.75}{\left ( s+5 \right )^{2}}+{\frac{-2.1875}{\left ( s+5 \right )}}$
Esto solo se hace en un paso ya teniendo los valores de las fracciones simples lo unico que hacemos es buscar en la tabla el denominador que tienen estas fracciones.
De la tabla las que utilizaremos serán:
| Función f(t) | Transformada F(s) |
| $e^{-at}$ | $\frac{1}{s+a}$ |
| $te^{-at}$ | $\frac{1}{\left ( s+a \right )^{2}}$ |
Como se dan cuenta las fracciones simples que tenemos son como lo que tenemos en la parte de Transformada F(s) en nuestra tabla:
${\frac{.9375}{\left ( s+1 \right )}}-->{\frac{1}{\left ( s+a \right )}}$
${\frac{1.25}{\left ( s+3 \right )}}-->{\frac{1}{\left ( s+a \right )}}$
${\frac{3.75}{\left ( s+5 \right )^{2}}}-->{\frac{1}{\left ( s+a \right )^{2}}}$
${\frac{-2.1875}{\left ( s+5 \right )}}-->{\frac{1}{\left ( s+a \right )}}$
Lo unico que hacemos es tomar la Función f(t) que le pertenece a esa Transformada F(s) con sus valores de a indicados.
Ahora sacamos la transformada inversa directamente:
$L^{-1}[F\left ( s \right )]=.9375e^{-t}+1.25e^{-5t}+3.75te^{-5t}-2.1875e^{-5t}$
Ya terminado lo haremos por la parte larga que ya menciones, donde para ello utilizaremos las fracciones parciales.
Lo primero que haremos sera expresar la función que nos dieron en fracciones parciales:
Recurden que cuando tenemos factores de primer grado repetidos en el denoominador como en nuestro caso $\left ( s+5 \right )^{2}$ , lo que haremos es poner una constante sobre cada raiz disminuyendo en uno el exponente.
La función queda de la siguiente manera:
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}={\frac{A}{\left ( s+1 \right )}}+{\frac{B}{\left ( s+3 \right )}}+\frac{C}{\left ( s+5 \right )^{2}}+{\frac{D}{\left ( s+5 \right )}}$
Pasos para Resolver:
Paso 1
Multiplicamos los miembros de las fracciones parciales por el denominador de la función que se nos dio:
$\frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}=\left [ {\frac{A}{\left ( s+1 \right )}}+{\frac{B}{\left ( s+3 \right )}}+\frac{C}{\left ( s+5 \right )^{2}}+{\frac{D}{\left ( s+5 \right )}} \right ]{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}$
Paso 2
La multiplicación anterior nos da como resultado:
${10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}=A\left ( s+3 \right )\left (s+5 \right )^{2}+B\left ( s+1 \right )\left ( s+5\right )^{2}+C\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )+D\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )$
${10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}=A\left ( s+3 \right )\left (s^{2}+10s+25 \right )+B\left ( s+1 \right )\left ( s^{2}+10s+25\right )^{2}+C\left ( s ^{2}+4s+3\right )+D\left ( s+1 \right )\left ( s^{2}+8s+15 \right )\left ( s+5 \right )$
${10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}=A\left ( s^{3}+13^{2}+55s+75s \right )+B\left ( s^{3}+11s^{2}+35s+25 \right )+C\left ( s ^{2}+4s+3\right )+D\left ( s^{3}+9s^{2}+23s+15 \right )$
${10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}=As^{3}+13A^{2}+55As+75As + Bs^{3}+11Bs^{2}+35Bs+25B+Cs^{2}+4Cs+3C + Ds^{3}+9Ds^{2}+23Ds+15D$
Asosiamos:
${10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}=(A+B+D)s^{3}+(13A+11B+C+9D)s^{2}+(55A+35B+4C+23D)s+(75A+25B+3C+15D)$
Formamos ecuaciones semejantes y queda:
1- $A+B+D=0$
2- $13A+11B+C+9D=10$
3- $55A+35B+4C+23D=60$
4- $75A+25B+3C+15D=80$
Paso 3
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones anterior.
Seleccionamos la primera ecuación y despejamos A.
$A+B+D=0$
$A= -B -D$
Ya que tenemos lo que vale A sustituimos en las otras ecuaciones:
| 1-. $13A+11B+C+9D=10$ $13(-B-D)+11B+C+9D=10$ $-13B-13D+11B+C+9D=10$ $-2B+C-4D=10$ <--1 |
2-. $55A+35B+4C+23D=60$ $55(-B-D)+35B+4C+23D=60$ $-55B-55D+35B+4C+23D=60$ $-20B+4C-32D=60$ <--2 | 3-. $75A+25B+3C+15D=80$ $75(-B-D)+25B+3C+15D=80$ $75B+75D+25B+3C+15D=80$ $-50B-60D+3C=80$ <--3 |
Ya reducidas las ecuaciones y con la primer ecuación trabajaremos con ellas para encontrar los resultados de A,B, C y D:
Paso1
Ecuaciones 1 y 2:
$-2B+C-4D= 10$ (4)
$-20B+4C-32D= 60$ (-1)
=
$-8B+4C-16D= 40$
$20B+32D-4C= -60$
_____________________
$12B+ 0 +16D= -20$
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Ecuaciones 1 y 3:
$-2B+C-4D= 10$ (3)
$-50B-+3C+60D=80$ (-1)
=
$-6B+3C-12D= 30$
$50B-3C+60D= -80$
_____________________
$44B+ 0 +48D= -50$
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Paso 2
Trabajamos con los dos resultados anteriores
$12B+16D= -20$
$44B+48D= -50$
Para no trabajar con numeros tan grandes lo que haremos sera dividir entre dos las ecuaciones anteriores:
$6B+8D= -10$
$22B+24D= -25$
$6B+8D= -10$ (-24)
$22B+24D= -25$ (8)
=
$-144B-192D= 240 $
$176B+192D= -200$
_____________________
$ 32B+ 0 = 40$
$ 32B= 40$
$ B= 40/32$
$ B= 1.25 $ <--Valor de B encontrado
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
Paso 3
En contramos los demás valores sustituyendo en las ecuaciones.
$22B+24D= -25$ <-- Fue la ecuación que obtuvimos en el paso anterior, aquí sustutuimos la B ya encontrada para sacar D.
$22(1.25)+24D= -25$
$27.5+24D=-25$
$24D=-25-27.5$
$24D= -52.5$
$D=-52.5/24$
$D=-2.1875$
Obtenemos el valor de A:
$A=-B -D$
$A=-(1.25) -(-2.1875)$
$A=-1.25+2.1875$
$A= .9375$
Y para finalizar sacamos el valor de C usando la siguiente ecuación:
$-2B+C-4D=10$
$-2(1.25)+C-4(-2.1875)=10$
$-2.5+C+8.75=10$
$C=10-8.75+2.5$
$C=-3.75$
Ya obtuvimos todos los valores, ahora sustituimos ese valor en sus lugares respectivos:
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}={\frac{A}{\left ( s+1 \right )}}+{\frac{B}{\left ( s+3 \right )}}+\frac{C}{\left ( s+5 \right )^{2}}+{\frac{D}{\left ( s+5 \right )}}$
=
$F\left ( s \right )= \frac{10\left ( s+2 \right )\left (s+4 \right )}{\left ( s+1 \right )\left ( s+3 \right )\left ( s+5 \right )^2}={\frac{.9375}{\left ( s+1 \right )}}+{\frac{1.25}{\left ( s+3 \right )}}+\frac{3.75}{\left ( s+5 \right )^{2}}+{\frac{-2.1875}{\left ( s+5 \right )}}$
Si se fijan obtuvimos los mismos valores que nos arrojo octave, entonces solo es de sustituir como anteriormente con l función de f(t) que le pertenece a la transformada de F(s) y da el mismo resultado.
$L^{-1}F\left ( s \right )= .9375e^{-t}+1.25e^{-5t}+3.75te^{-5t}-2.1875e^{-5t}$
Referencias:
Información de residue y conv: octave
Bien; 15.
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