Actividad 7 : Laboratorio Automatización
Ejercicio:
Este problema lo elegí de un libro que llevo una compañera de clase el cual se llama Sistemas de Control Moderno.
Este problema lo elegí de un libro que llevo una compañera de clase el cual se llama Sistemas de Control Moderno.
Determínise la función de Transferencia $\mathbf{X_{1}(s)/U(s)}$ y $\mathbf{X_{1}(s)/F(s)}$ para el sistema acomplado resorte-masa:
Este problema ya habia hecho uno parecido en el cual me base en unos videos, por ese motivo lo escogí para que no se me complicara mucho :P.
Este problema ya habia hecho uno parecido en el cual me base en unos videos, por ese motivo lo escogí para que no se me complicara mucho :P.
$Funcion de Transferencia=\mathbf{G\left ( s \right )}=\frac{L[salida]}{L [entrada]}|\textrm{condiciones iniciales cero}$
- $\mathbf{k_{1}}$,$\mathbf{k_{2}}$: constante elástica
- $\mathbf{b}$:constante de biscuocidad.
- $\mathbf{V_{1}}$,$\mathbf{V_{2}}$:Velocidad.
- derivada del desplazamiento es $\mathbf{\frac{dy}{dt} }$ y se utilizara de la siguiente manera $\mathbf{\dot{y}}$
Como sabemos la Ley fundamental que controla los sistemas mecaánicos es la Segunda Ley de Newton
$\mathbf{\sum F_{externas}=ma}$
Ahora tomando lo anterior y utilizando la Segunda Ley de Newton pasaremos a la solución del problema:
Solución:
Primero que nada vamos a sacar las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, que en este caso tenemos dos.
$\mathbf{M_{1}}$:
$\mathbf{M_{2}}$:
Ya que terminamos de sacar las fuerzas que actúan obre cada cuerpo aplicamos la segunda Ley de Newton a cada uno de ellos:
Tomamos el sentido de la fuerza u como el sentido positivo (derecha=sentido positivo), lo que quiere decir que las fuerzas que actúen de lado izquierdo seran negativas:
$\mathbf{\sum F_{externas}=ma}$
Tomando en cuenta que:
$\mathbf{a=\frac{d^{2x}}{dt^{2}}=\ddot{x}}$
masa 1: $\mathbf{F-k_{1}x_{1}-k_{2}\left ( x_{1}-x_{2} \right )=m_{1}\ddot{x}_{1}} $
masa 2: $\mathbf{-b_{1}\dot{x}_{2}-k_{2}\left ( x_{1}-x_{2} \right )=m_{2}\ddot{x}_{2}} $
=
$\mathbf{M_{1}\ddot{x}_{1}+k_{1}X_{1}+k_{2}x_{1}= u+k_{2}X_{2}}$
$\mathbf{M_{2}\ddot{x}_{2}+b_{1}\dot{x}_{2}+k_{2}X_{2}=k_{2}X_{1}}$
Suponiendo que las condiciones iniciales son cero, pasamos las ecuaciones anteriores al dominio de Laplace
$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)= F(s)+k_{2}X_{2}(s)}$ (1)
$\mathbf{[M_{2}s^{2}+b_{2}s+k_{2}]X_{2}(s)=k_{2}X_{1}(s)}$ (2)
Ahora obtendremos las funciones de transferencias $\mathbf{X_{1}(s)/U(s)}$
$\mathbf{[M_{2}s^{2}++b_{1}s+k_{2}]X_{2}(s)=k_{2}X_{1}(s)}$
$\mathbf{X_{2}(s)=\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}}$
Sustituimos en la primer ecuación:
$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)= F(s)+k_{2}X_{2}(s)}$
$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)= F(s)+k_{2}[\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}]}$
$\mathbf{[M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2}]X_{1}(s)-k_{2}-\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}= F(s)}$
$\mathbf{X_{1}(s)[(M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2})-k_{2}[\frac{k_{2}X_{1}(s)}{M_{2}s^{2}+b_{1}s+k_{2}}]]= F(s)}$
$\mathbf{X_{1}(s)[\frac{(M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2})(M_{2}s^{2}+k_{2})-k_{2}^{2}}{M_{2}s^{2}+k_{2}}]= F(s)}$
Así ya encontramos la función de transferencia $\mathbf{X_{1}(s)/F(s)}$:
$\mathbf{ \frac{X_{1}(s)}{F(s)}=\frac{M_{2}s^{2}+k_{2}}{(M_{1}s^{2}+k_{1}+k_{2})(M_{2}s^{2}+k_{2})-k_{2}^{2}} }$
